2021年杭州论坛 (2021年杭州中考数学试卷)

一、填空题（每题 5 分，共 25 分）

• 1. 已知直线 l 的方程为 y = 2x +b，点 P(2, 5) 在直线 l 上，则 b = _____。
• 2. 已知二次函数 y = ax² + bx + c 的图象与 y 轴交于点 (0, 4)，且 a + b + c = 8，则 a = _____。
• 3. 若 a、b、c 是正整数，且 a³ + b³ + c³ = 36，则 a + b + c 的最小值为 _____。
• 4. 已知函数 y = 2x² - 3x + 1 在区间 [0, 2] 上的最值为 _____。
• 5. 已知正方形 ABCD 的边长为 2，点 M 为边 BC 上一点，且 BM = MC，则点 M 到点 A 的距离为 _____。

二、选择题（每题 5 分，共 15 分）

• 6. 下列二次函数的图象与 y 轴交于点 (-2, 0) 的是：
  1. y = x² + 2x + 4
  2. y = x² - 2x - 4
  3. y = -x² + 2x + 4
  4. y = -x² - 2x - 4

• 7. 下列不等式组的解集是非空集的是：
  1. x + y > 5，x - y ≤ 1
  2. x + y > 5，x - y ≥ 1
  3. x + y ≤ 5，x - y > 1
  4. x + y ≤ 5，x - y < 1
• 8. 下列直线中垂直于 y 轴的是：
  1. y = 2x + 3
  2. y = -2x + 3
  3. x = 2y + 3
  4. x = -2y + 3
• 9. 下列圆的直径为 6 的是：
  1. (x - 2)² + (y - 3)² = 9
  2. (x - 2)² + (y + 3)² = 9
  3. (x - 3)² + (y - 2)² = 36
  4. (x + 3)² + (y + 2)² = 36
• 10. 下列说法中正确的是：
  1. 圆的半径等于直径的一半
  2. 圆的周长等于直径乘以 π
  3. 圆的面积等于半径乘以 π
  4. 圆的面积等于直径乘以 π

三、解答题（共 60 分）

11. (15 分)

已知二次函数 y = ax² + bx + c 的图象与 x 轴交于点 (-3, 0) 和 (1, 0)，且点 (-1, 4) 在图象上。

1. 求 a、b、c 的值。
2. 求出二次函数的解析式。

12. (15 分)

如图，在平面直角坐标系中，已知正方形 ABCD 的边长为 2，点 P 为正方形 ABCD 边 AD 上一点，且 AP = 1。点 Q 为正方形 ABCD 边 BC 上一点，且 BQ = QC。
求线段 PQ 的长度。

13. (15 分)

已知 a、b、c 是正整数，且 a + b + c = 15，求 a、b、c 的三元组 (a, b, c) 的个数。

14. (15 分)

某商店进购一批商品，每盒商品的售价为 15 元，进价为 12 元。已知该商店计划按售价的 80% 出售这批商品，且每售出 4 盒商品可以得到 1 盒免费商品。若该商店售出了所有进购的商品，则该商店最终获得的利润为多少元？